機械学習による軌道自由密度汎関数理論が変形核の殻効果を解明 | Communications Physics

Communications Physics 第8巻、論文番号: 316 (2025) この記事を引用

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軌道自由密度汎関数理論による変形原子核の正確な記述は、量子殻効果を考慮することが難しいため、長年教科書上の課題となってきた。軌道自由密度汎関数理論は、ホーエンベルク・コーン定理によって保証されているように、原理的にはすべての原子核効果を記述することができる。しかし、微視的な観点からは、殻効果と変形効果は本質的に単一軌道構造と関連しており、軌道自由アプローチにとって大きな課題となっている。本研究では、機械学習ベースの軌道自由密度汎関数理論を開発し、球状16Oと変形20Ne原子核の両方について基底状態特性とポテンシャルエネルギー曲線の記述を可能にする。我々の知る限り、これは完全に軌道自由のエネルギー密度汎関数が複雑な原子核殻効果と変形効果を制御することに成功した最初の例である。これは、ホーエンベルク・コーン定理に直接根ざした軌道フリーアプローチが理論的な概念であるだけでなく、核システムにとって実用的なものでもあることを示しています。

殻効果は、原子、原子核、閉じ込められた量子気体および流体、ナノ構造、量子ドット、その他類似の実体を含む有限量子多体系の一般的な特性です。量子殻効果は、典型的には、フェルミ準位付近の単粒子エネルギースペクトルにおける大きなエネルギーギャップと関連しています。このようなギャップは、量子多体系に付加的な結合エネルギーを与え、安定性を高めます。量子多体系問題の研究は、様々な科学分野において長年にわたり研究されてきました。1964年、ホーエンベルクとコーンは、多体系の全エネルギーが密度の汎関数として表せることを実証しました1。その結果、N体波動関数で定式化された量子多体系問題は、密度分布を持つ一体準位にマッピングできるようになりました。これは密度汎関数理論（DFT）の発展につながり、量子化学2、凝縮系物理学3、原子核物理学4,5,6など、様々な分野で活発な研究分野となっています。 DFT は原理的には量子殻効果を考慮することができます。

多電子系とは対照的に、原子核は核力によって自己束縛された系である。低エネルギー領域における量子色力学（QCD）の非摂動的な性質のため、核力は部分的に未解明のままである7。そのため、原子核のDFTは、いわゆる固有一体密度8,9に基づいて定式化される。原子核系において、殻効果は原子核の変形と密接に関連しており、これは固有系における原子核平均場の自発的対称性の破れから生じる。したがって、原子核の殻効果と変形効果を正確かつ自己無撞着に記述することは、原子核理論の極めて重要な側面である。DFTは原理的に、ホーエンベルグ・コーン定理を保証しつつ、原子核系のあらゆる効果を記述することができる。しかし、微視的な視点から見ると、殻効果と変形効果は単一粒子準位の分岐と関連しており、補助的な一体軌道、すなわちコーン・シャム密度汎関数（Kohn–Sham DFT10）の導入によってエネルギー密度汎関数に常に組み込まれる。ホーエンベルグ・コーン定理によって保証されているものの、殻効果と変形効果を軌道自由エネルギー密度汎関数にどのように組み込むかは依然として不明である。

軌道フリー DFT は、ホーエンベルグ–コーンの定理の根に基づいています。軌道フリー DFT の計算コストは、システム N のサイズに対して O(N) で比例し、これは O(N3) のコーン–シャム DFT よりもはるかに効率的です。軌道フリー DFT の現在の試みは、主に半古典的なトーマス–フェルミ (TF) アプローチとその拡張版 (ETF)11,12 に基づいています。しかし、これらの半古典的なアプローチでは、すべての原子核は基底状態で球形であり11,13、得られた基底状態密度には量子殻と変形効果が欠けています11,12,14。殻と変形効果を組み込むには、追加の補正、つまり殻補正17,18 を適用する必要があります15,16。殻効果を組み込むためのよく知られた 2 つの方法として、ストルチンスキー積分法19,20,21 と期待値法22,23 があります。しかし、どちらの手法も補助的な一体軌道を必要とするため、殻補正を加えたETFアプローチは、もはやホーエンベルク・コーン定理に直接基づく軌道フリーDFTではなくなります。軌道フリーDFTによる殻効果と変形効果の正確な記述は、原子核物理学において依然として難題です。原理的には、これはホーエンベルク・コーン定理によって保証されています。しかしながら、実際には、我々の知る限り、これはまだ達成されておらず、さらに、これを達成するための実行可能な方法も長らく不明なままでした。

機械学習（ML）は物理学の様々な分野で応用され成功を収めています24,25,26,27。原子核物理学では、原子核の質量28,29,30,31,32,33,34,35,36、電荷半径37,38,39,40,41,42、崩壊と反応43,44,45,46,47,48,49、基底状態と励起状態50,51,52,53,54、原子核ランドスケープ55,56、核分裂収量57,58,59、原子核多体計算60,61,62,63,64,65などにMLが広く採用されています。MLは高次元データに存在する複雑なパターンを見つけるための強力なツールであり、エネルギー密度汎関数（EDF）、つまり存在が証明されているが形式が未知の汎関数の構築に非常に適しています。電子システムの軌道自由DFT構築における機械学習の応用に関する研究は数多く行われてきました66,67。2012年にはML-DFTの原理実証が示され68、ML法が1次元ボックス内の非相互作用フェルミオンの運動エネルギー密度汎関数の優れた近似値を実現できることが示されました。DFTにおけるMLの実用性は、その後、現実的な例を通して実証されました69。それ以来、MLの有効性を実用的かつ一般化可能な汎関数構築にもたらすための多くの取り組みがなされてきました。文献70では、わずか3分子の正確な密度とエネルギーで学習したニューラルネットワーク汎関数が、150個のテスト分子に対して人間が設計した汎関数と同等の性能を発揮し、優れた一般化能力を示すことが示されました。密度ベースのΔ学習（標準的なDFT計算の補正のみを学習する）によって、必要な学習データ量を大幅に削減できることが実証されました71。 DFT におけるホーエンベルク–コーン写像の学習は、量子相転移全体では効果が低いことがわかっており、滑らかでない関数の関係を効率的に学習するという本質的な課題があることを示唆しています72。また、トレーニング中に事前知識を組み込むと、関数の一般化能力を高めることができることもわかりました73。DeepMind チームは、何千もの分子システムでトレーニングされた DM21 関数を提供し、標準的な分子ベンチマークで他のほとんどのハイブリッド関数よりも優れた一般化性能を示しました74。密度フィッティング表現は、実空間グリッド表現の代わりに ML ベースの DFT に導入され75、実際の分子に適用されました。記号関数の機械表現が提案され76、これは人間にとってより解釈しやすいものです。励起状態ダイナミクスシミュレーション用の機械学習関数も開発されました77。

原子核系において、軌道自由DFTのML適用はまだ初期段階にあります78,79,80。最近、我々はMLを用いて球状核に対する堅牢かつ高精度な軌道自由EDFの構築に成功しました。コーン・シャム方程式を回避したこのML軌道自由EDFを用いた自己無撞着計算により、4He、16O、40Caの基底状態密度、全エネルギー、および二乗平均平方根半径が得られ、軌道依存コーン・シャム解78を高い精度で再現します。これは、MLアプローチによって高精度な原子核軌道自由EDFを構築できることを実際に証明しています。したがって、MLアプローチは、軌道自由DFTにおけるミッシングシェル効果や変形効果の構築にも役立つことが期待できます。

本研究では、変形原子核における殻効果を記述するための軌道自由EDFの構築という課題に直接取り組む。MLカーネルリッジ回帰（KRR）アプローチを採用し、核子密度から運動エネルギーとスピン軌道エネルギーの両方へのマップを構築するようにモデルをトレーニングする。Skyrme汎関数から取得した相互作用エネルギーと組み合わせて、変形核の軌道自由EDFを構築する。次に、ML軌道自由EDFを使用して球状16O核と変形20Ne核の基底状態特性を計算し、その結果をKohn-Sham計算および実験データと比較する。20Neは典型的な変形核であり、新しく開発されたアプローチ81,82,83において球状核系から変形核系への移行を示す例として通常使用される。さらに、軌道自由DFTの枠組みで制約計算が実現され、16Oと20Neの両方について四重極変形の関数としてポテンシャルエネルギー曲線が得られます。

軌道自由DFTの枠組みでは、核システムの全エネルギーは密度のみの関数として表すことができる。

ここでの相互作用エネルギーはSkyrme関数SkP84から取得されます。つまり、\({E}_{{{{\rm{int}}}}}[\rho ]=\int{{{{\mathcal{E}}}}}_{{{{\rm{Skyrme}}}}}{{{\rm{d}}}}{{{\boldsymbol{r}}}}\)、ここで

Skyrme関数は2つの部分から成り、相互作用部分\({E}_{{{{\rm{int}}}}}}^{{\prime} }\)（式(2)の最初の行）は核子密度ρのみに明示的に依存し、スピン軌道部分Eso（式(2)の2番目の行）はスピン軌道密度Jにも依存します。軌道自由EDFを構築するために、スピン軌道エネルギーと運動エネルギーはKRR法内で核子密度で表されます。

ここで、ρi(r)は訓練密度、Kは密度間の類似性を測定するカーネル関数、ωiはKRRフレームワークで決定される重みである。

ここでλは過学習のリスクを減らすために大きな重みにペナルティを課す正則化子、Iは単位行列、Ekin+soは学習すべき正確な運動エネルギーとスピン軌道エネルギー、すなわち(Ekin+so[ρ1], …, Ekin+so[ρm])、Kは要素Kij = K(ρi, ρj)を持つカーネル行列、

ここで、σはカーネルが影響を与える距離の長さスケールを定義するハイパーパラメータであり、2つの密度間の距離\(| | \rho ({{{\boldsymbol{r}}}})-{\rho }^{{\prime} }({{{\boldsymbol{r}}}})| |\)は、一連の離散グリッド上の密度をベクトル化することで計算できます。係数Aと\({A}^{{\prime} }\)は、それぞれ密度ρと\({\rho }^{{\prime} }\)の核子数です。

与えられた訓練データ（ρ、Ekin、Eso）に対して、重みパラメータ（4）を決定し、運動エネルギーとスピン軌道エネルギーの和のKRR予測値（3）が得られる。相互作用エネルギーを考慮すると、軌道自由EDFは次のように書ける。

ここで、\({E}_{{{{\rm{int}}}}}}^{{\prime} }[\rho ]\)はスピン軌道相互作用エネルギーを表す。核の基底状態は、エネルギー密度汎関数(6)を密度に関して最小化することで得られる。

本研究では、軸方向に変形した核を考察するため、核子密度は2次元で計量 \(\tilde{\rho }({r}_{\perp },z)=2\pi {r}_{\perp }\rho ({r}_{\perp },z)\) を用いて表すことができる。数値的には、核子密度は r⊥ ∈ [0, 8.05] fm、z ∈ [ − 8.05, 8.05] fm の (r⊥, z) の1128個の離散空間メッシュ点で表される。密度、運動エネルギー、スピン軌道エネルギーのトレーニングデータは、スピン軌道ポテンシャルを含むランダムに生成された平均ポテンシャルを用いてシュレーディンガー方程式を解くことによって準備される。

平均ポテンシャルVは、球面成分V0(r)と四重極成分V2(r)の組み合わせによってシミュレートされます。これら2つの成分のラジアル関数は、適切な範囲でランダムに生成される6つのパラメータ78を持つガウス関数の組み合わせによってシミュレートされます。スピン軌道ポテンシャルは\({{{\boldsymbol{W}}}}({{{\boldsymbol{r}}}})=\frac{3}{4}{W}_{0}{{{\boldsymbol{\nabla }}}}{\rho }_{{{{\rm{pre}}}}}}\)で与えられます。ここで、密度\({\rho }_{{{{\rm{pre}}}}}}\)は、W(r) = 0としてシュレーディンガー方程式を解くことで事前に計算されます。

シュレーディンガー方程式は容易に解けるため、最小限の労力で大規模なデータベースを作成することが可能です。本研究では、球状16Oと変形20Neの核子密度、運動エネルギー、スピン軌道エネルギーに関する24,000個のデータを生成します。データは3つのセットに分割され、それぞれトレーニングセット用20,000個、検証セット用2,000個、テストセット用2,000個です。各セットにおいて、A = 16とA = 20の系のデータ数は同一です。

KRRネットワーク(3)は訓練データを用いて学習され、解は式(4)によって得られる。ここで、ハイパーパラメータλとσは、検証セットにおけるML性能を最適化することで決定される。結果として得られるハイパーパラメータは、λ = 2.19 × 10−6、σ = 1.86 fm−2である。最後に、2000個のデータサンプルからなるテストセットを用いて、KRR訓練の偏りのない評価を行う。

KRRトレーニングプロセスのパフォーマンスは、図1に示されています。これは、KRR予測値と検証セットおよびテストセットにおける実効値との間の運動エネルギーおよびスピン軌道エネルギーの二乗平均平方根（rms）偏差Δrmsを示しています。rms偏差Δrmsは、四重極変形β2に依存しますが、概ね5keVから25keVの範囲にあることがわかります。これは原子核物理学としては非常に高い精度であり、殻効果を研究するという私たちの目的には十分です。さらに重要なのは、検証セットとテストセットのrms偏差が非常に近いことです。これは、KRRネットワークが一般化能力において十分にトレーニングされていることを示しています。

KRR予測値と検証セットおよびテストセットの実効値との間の運動エネルギーおよびスピン軌道エネルギーの二乗平均平方根（rms）偏差Δrms。四重極変形β2は、-0.45 < β2 < -0.35、-0.35 < β2 < -0.25など、異なるスロットに存在します。

軌道自由エネルギー密度汎関数 \({E}_{{{{\rm{tot}}}}}}^{{{{\rm{ML}}}}}[\rho ]\) が得られれば、試行密度 ρ(0) から勾配降下法を用いて全エネルギーを最小化する密度を求める自己無撞着な手順を実行できる。実験データとの比較のため、文献と同様に、質量中心（cm）補正エネルギーとクーロンエネルギーが計算に含まれていることに注意する必要がある。 78. cm補正エネルギーは、変動前の微視的補正の対角項\({E}_{{{{\rm{cm}}}}}^{{{{\rm{mic}}}}}=-\frac{1}{2mA}\langle {\hat{{{{\boldsymbol{P}}}}}}_{{{{\rm{cm}}}}}^{2}\rangle\)を用いて計算される。すなわち、\({E}_{{{{\rm{cm}}}}}^{{{{\rm{dic}}}}}=-\frac{1}{A}{E}_{{{{\rm{kin}}}}}\)85。クーロンエネルギーはスレーター近似86,87を用いて計算される。

テストセットからランダムに選択された100個の密度は、16Oまたは20NeのいずれかのML軌道自由DFTの自己無撞着解の初期密度として用いられる。次に、各核について類似の基底状態密度とエネルギーのセットが得られ、平均値と標準偏差がそれぞれ最終結果と対応する統計的不確かさとして採用される。16Oと20Neについて得られた自己無撞着四重極変形、十六重極変形、rms半径、および全エネルギーは、Kohn-Shamの結果および表1の利用可能なデータと比較される。

本 ML アプローチで得られた基底状態特性は、球状 16O 核と変形 20Ne 核の両方で Kohn–Sham のものと一致しています。四重極変形 β2、rms 半径 Rm、全エネルギー Etot の偏差は小さく、一般的に統計的不確かさの範囲内です。16 重極変形 β4 の偏差は β2 よりもわずかに大きいですが、それでも Kohn–Sham の結果とよく一致しています。これは、本 ML 軌道フリー アプローチが高次変形に対しても満足のいくパフォーマンスを発揮できることを示しています。私たちの知る限り、特に変形核を扱う場合、既存の軌道フリー DFT 法でこのレベルのパフォーマンスに匹敵するものはありません。本 ML 軌道フリー DFT によって得られた基底状態特性は、実験値と匹敵することに注意してください。 Kohn–ShamアプローチとMLアプローチの両方における実験値と理論予測の不一致は、SkP相互作用汎関数の採用に起因しています。質量数A = 16およびA = 20の密度から学習したML軌道自由密度汎関数を使用することで、24Mgおよび28SiのKohn–Sham基底状態密度に基づく運動エネルギー予測も非常に妥当なものとなりました。運動エネルギーのML予測とKS予測の偏差は2 MeV未満であり、これはThomas–Fermiアプローチおよびその拡張版よりもはるかに正確です。ただし、自己無撞着な計算にはより大きな学習セットが必要になる可能性があり、これはランダム平均場ポテンシャルでシュレーディンガー方程式を解くことで生成できます。今後の研究では、学習データの拡張と汎関数の一般化可能性の向上のバランスを取る必要があります。

基底状態とは別に、16O と 20Ne のポテンシャルエネルギー曲線に対しても自己無撞着な制約計算が行われた。その結果は、Kohn–Sham 法と（拡張）Thomas–Fermi 法で得られたポテンシャルエネルギー曲線と比較して、図 2a と 3a に示されている。我々の ML 法が登場する以前は、拡張 Thomas–Fermi 法が原子核系に使用できる唯一の軌道フリー DFT であった。図 2a と 3a に示されているように、Thomas–Fermi 法のポテンシャルエネルギー曲線は、両方の原子核に対して Kohn–Sham 法の曲線から顕著な乖離を示している。拡張 Thomas–Fermi 法（ETF4）は、結果を大幅に改善することが実証されており、球状 16O の極小値をよく再現する。しかし、ETF4 は、変形量子殻効果がないため、球状原子核と変形原子核の両方に対して一貫して球状のエネルギー極小値をもたらす。これにより、原子核システムに対する軌道自由密度汎関数理論の開発という大きな課題が生じます。

a 機械学習軌道自由DFT（赤線）で得られた16Oのポテンシャルエネルギー曲線。コーン・シャム法（青線）、トーマス・フェルミ法（オレンジ線）、拡張トーマス・フェルミ法（緑線）の結果と比較。星印は機械学習軌道自由DFTによって得られたエネルギー極小値を示す。b Etot = -128 MeVから-122 MeVの領域の部分拡大。誤差帯は、100個の試行密度をランダムに選択した結果から生じる統計的不確実性を表す。

図2および図3に示すように、現在のML軌道自由DFTは、基底状態エネルギーだけでなく、コーン・シャム計算から導かれるポテンシャルエネルギー曲線も正確に再現します。特に、変形された20Neの場合、扁平および長楕円のエネルギー極小値の存在を非常によく再現できます。20Neの場合、変形がβ2 = 0に近づくにつれて、1d5/2に由来する単一粒子レベルが縮退することを強調することが重要です。この場合、原則として対相関を考慮する必要があります。対相関がない場合、量子殻効果の影響により、コーン・シャム計算でβ2 = 0付近のポテンシャルエネルギー曲線の収束結果を得ることは困難です。対相関がない場合、単一粒子レベルが量子数 5/2+、3/2−、1/2+ と交差すると、β2 = 0 付近でポテンシャルエネルギー曲線が収束しなくなることに注意してください。この非収束は量子殻効果も反映しており、ML 計算ではよく捉えられていますが、トーマス・フェルミのアプローチでは説明できません。

a 機械学習軌道自由DFT（赤線）で得られた20Neのポテンシャルエネルギー曲線。コーン・シャム法（青線）、トーマス・フェルミ法（オレンジ線）、拡張トーマス・フェルミ法（緑線）の結果と比較。星印は機械学習軌道自由DFTによって得られたエネルギー極小値を示す。b Etot = -158 MeVから-148 MeVの領域の部分拡大。誤差帯は、100個の試行密度をランダムに選択した結果から生じる統計的不確実性を表す。

完全なポテンシャルエネルギー曲線を得るには、対合効果を考慮することが極めて重要です。したがって、文献 79 に示されているように、軌道自由アプローチに対合汎関数を組み込むことは、有望かつ必要な前進です。ML 軌道自由 DFT と Kohn–Sham のポテンシャルエネルギー曲線の差は、図 2b と 3b に詳細に示されています。16O の場合、差は最大 1 MeV ですが、20Ne の場合、差は通常 0.5～2.0 MeV 程度で、これは異なる DFT モデル間の典型的な偏差と同じレベルです。最小値から離れた β2 値での偏差の増加は、トレーニング セットにトレーニング密度を追加することで改善できることに注意してください。

最後に、20Neの基底状態と形状異性体状態の密度プロファイルを図4に示す。ML密度プロファイルは、基底状態と形状異性体状態の両方において、コーン・シャム密度を非常によく再現していることがわかる。量子殻効果に対応する密度プロファイルの空間変動は、本ML軌道フリーDFTによってよく捉えられている。図4cに示すように、ML軌道フリーアプローチとコーン・シャムアプローチによる密度の差は、一般に0.01fm−3未満である。これらの結果はすべて、核量子殻効果が本ML軌道フリーDFTに適切に組み込まれていることを示す。

20Neの基底状態（長球状）と形状異性体状態（扁球状）の密度プロファイル。a：扁球状、b：扁球状。コーン・シャムDFTと機械学習軌道フリーDFTによる結果は、それぞれ左パネルと右パネルに示されている。c：ML軌道フリーアプローチとコーン・シャムアプローチによる扁球状（左パネル）と扁球状（右パネル）の密度差。

要約すると、機械学習アプローチを用いて運動エネルギー成分とスピン軌道成分を構築することで、変形核の軌道自由密度汎関数理論が開発された。構築された機械学習軌道自由密度汎関数は、変形、二乗平均平方根半径、結合エネルギーなど、一般的に用いられる軌道依存コーン・シャム法で得られる核基底状態特性を高い精度で再現することができる。さらに、現在の機械学習軌道自由密度汎関数は、ポテンシャルエネルギー曲線の正確な計算を可能にし、それによって核の異性体状態の決定を容易にする。20Neの基底状態と異性体状態の予測密度プロファイルはコーン・シャム密度を高精度で再現し、量子殻効果に対応する密度プロファイルの空間変動は、現在の機械学習軌道自由密度汎関数によって正確に捉えられている。殻効果と変形効果を適切に取り入れることで、軌道自由DFTは原子核物理学、特にコーン・シャムDFTに基づく計算が依然として計算コストが高い場合に広く応用されると期待されています。これは、超重核や中性子星の構造とダイナミクスなど、多数の核子を持つ原子核系に利用できます。私たちの知る限りでは、これは完全に軌道自由のエネルギー密度汎関数が変形原子核の複雑な殻効果を抑制することに成功した最初の例です。これは、ホーエンベルグ・コーン定理に直接基づく軌道自由エネルギー密度汎関数が理論概念であるだけでなく、実用的な概念でもあることを示しています。したがって、これは軌道自由密度汎関数理論を用いた原子核系の定量的研究への扉を開きます。

密度、運動エネルギー、スピン軌道エネルギーのデータセットは、平均ポテンシャルV(r)とスピン軌道ポテンシャルW(r)を持つシュレーディンガー方程式を解くことによって構築されます。

平均ポテンシャルVは球面部分V0(r)と四重極変形部分V2(r)の組み合わせによってシミュレートされる。

球面部分は6つのパラメータを持つガウス関数の組み合わせによってシミュレートされます。

複合ガウス関数は、我々の以前の研究78において球面平均ポテンシャルをシミュレートするために採用されており、柔軟で滑らかな関数であることがわかった。四重極変形部分は次のようにシミュレートされる。

ここでP2はルジャンドル多項式の第2項であり、V20(r)は柔軟な複合ガウス関数によってシミュレートされる。

平均ポテンシャルの対応するパラメータは、それぞれ 7 < a01 < 9 MeV、1.8 < b01 < 2.1 fm、0.95 < c01 < 1.15 fm、48 < a02 < 59 MeV、- 0.15 < b02 < 0.25 fm、1.7 < c02 < 2.0 fm、および 0 < a21 < 6 MeV、2.9 < b21 < 3.2 fm、0.75 < c21 < 1.05 fm、0 < a22 < 12 MeV、1.6 < b22 < 1.8 fm、0.6 < c22 < 1.1 fm の範囲でランダムにサンプリングされます。スピン軌道ポテンシャルは \({{{\boldsymbol{W}}}}({{{\boldsymbol{r}}}})=\frac{3}{4}{W}_{0}{{{\boldsymbol{\nabla }}}}{\rho }_{{{{\rm{pre}}}}}\) で与えられ、ここで密度 \({\rho }_{{{{\rm{pre}}}}}\) は、W(r) = 0 でシュレーディンガー方程式を解くことによって事前に計算されます。さらに、計算された核の二乗平均平方根半径 Rrms は、核力の基本的な特性に従った核半径の経験的推定値である 0.8A1/3 fm から 1.2A1/3 fm の範囲にある必要があります。

与えられたV(r)ごとに、シュレーディンガー方程式を解くことで、密度、運動エネルギー、スピン軌道エネルギーを求めることができる。平均ポテンシャルの変形は密度の変形につながる。密度の四重極変形β2は次のように計算される。

と

ここでAは質量数、R0 = 1.2 × A1/3 fmである。密度の16重極変形β4は次のように計算される。

と

合計で、16Oと20Neを含む核システムの密度、運動エネルギー、スピン軌道エネルギーのペアが24,000組生成されます。これら2つの核は、それぞれ典型的な球状核と典型的な変形核として扱われ、両方とも同じ陽子数と中性子数を持ちます。これらのデータは、トレーニングセット用に20,000組、検証セット用に2000組、テストセット用に2000組の3つのセットに分割されます。各セットでは、16Oと20Neを含むシステムのデータ数は等しくなっています。24,000組のデータは四重極変形を伴う平均ポテンシャルで生成されるため、密度は-0.45 ≤ β2 ≤ 0.65の範囲の変形を持ちます。

本研究で構築された完全に軌道自由のEDFは次のように表される。

軸方向に変形したシステムの場合、次のように書ける。

相互作用部分は、次の形式のSkyrme関数から取られている。

ここで、パラメータはSkP84から取られている。スピン軌道相互作用成分Esoと運動エネルギー成分Ekinは、KRRアプローチを用いて密度の関数としてのみ表現される。

ここで密度は軸対称ρ(r⊥, z)であると仮定します。

勾配降下法を用いた自己無撞着計算では、関数微分が必要である。相互作用部分については、関数微分は次のように導出される。

運動論とスピン軌道の部分については、

ここで、ΔV = Δr⊥Δz であり、これは離散空間における体積要素です。

原子核の基底状態は、エネルギー密度汎関数を密度に関して変化させることによって得られる。密度は、試行密度から開始する勾配降下法によって計算される。各反復ステップiにおいて、以下の式が成り立つ。

ここで、ϵ は反復のステップ サイズを制御する定数であり、その値は収束の速度と安定性をトレードオフして決定されます。

軌道自由DFTの枠組みにおける制約付き計算は、全エネルギーにペナルティエネルギー項を加えることによって達成される。

ペナルティエネルギー項は次のように表される。

拡張ラグランジュ法88を参照する。ここでqは制約される物理量、すなわち四重モーメントであり、q0はqの目標制約値である。cは適切な値を持つ定数として取られ、λは各反復で更新される。

拘束変形を伴う計算では、拘束される物理量は四重モーメントであり、

どこ

そして四重変形は

q[ρ]の関数微分は

そして、ペナルティエネルギーの関数微分は

ある四重変形β2のもとでエネルギーが最小となる状態は、勾配降下法で(24)を最小化することで得られる。

反復安定性を保証するために、参考文献78の補足資料で紹介されている主成分分析と密度再正規化に基づく適応型機能微分法も本研究で採用されています。

本文の図2で採用されているトーマス・フェルミ（TF）法と拡張トーマス・フェルミ（ETF4）法では、全運動エネルギーは核子密度の関数で表される。

τは中性子または陽子を表す11。

スピン軌道項は、文献9で適用されているのとほぼ同じ方法で考慮され、次のように示される。

ここでW0 = 76.20MeV ⋅ fm−5である。

半古典的TFおよびETF4アプローチにおける軸方向に変形した核のポテンシャルエネルギー曲線は、制限された密度変分法とウッズ・サクソン分布の形に基づいて得られる。

ここで、式(36)の\({{{{\mathcal{R}}}}}_{\tau }(\theta )\)は

中心密度 \({\rho }_{0}^{(\tau )}\) は粒子数の保存則から決定されますが、表面拡散度 a(τ)、典型半径 R(τ)、および変形パラメータ \({\beta }_{20}^{(\tau )}\) は、ポテンシャルエネルギー曲線の各制約 β2 の最小全エネルギーを取得するための変分パラメータです。

すべての関連データは、著者にリクエストすれば入手可能です。

関連するすべてのコードは、リクエストに応じて著者から入手できます。

Hohenberg, P. & Kohn, W. 不均一電子ガス. Phys. Rev. 136, B864–B871 (1964).

ADS MathSciNet Google Scholar

Mardirossian, N. & MH-G. 計算化学における密度汎関数理論の30年：200種類の密度汎関数の概要と広範な評価. Mol. Phys. 115, 2315–2372 (2017).

広告 Google Scholar

Kryachko, ES & Ludeña, EV 多電子系のエネルギー密度汎関数理論、第4巻（Springer Science & Business Media、2012年）。

Bender, M., Heenen, P.-H. & Reinhard, P.-G. 原子核構造に対する自己無撞着平均場モデル. Rev. Mod. Phys. 75, 121–180 (2003).

広告 Google Scholar

Lalazissis, GA, Ring, P. & Vretenar, D. 核構造物理学における拡張密度汎関数、第641巻（Springer Science & Business Media、2004年）。

Meng, J. 原子核構造のための相対論的密度汎関数、vol. 10 (World Scientific、2016)。

Epelbaum, E., Hammer, H.-W. & Meißner, U.-G. 核力の現代理論. Rev. Mod. Phys. 81, 1773–1825 (2009).

広告 Google Scholar

中務 剛志・松柳 功・松尾 雅俊・矢花 功. 時間依存密度汎関数法による原子核ダイナミクスの記述. Rev. Mod. Phys. 88, 045004 (2016).

ADS MathSciNet Google Scholar

Bulgac, A., Forbes, MM, Jin, S., Perez, RN & Schunck, N. 最小核エネルギー密度汎関数. Phys. Rev. C. 97, 044313 (2018).

広告 Google Scholar

Kohn, W. & Sham, LJ「交換効果と相関効果を含む自己無撞着方程式」Phys. Rev. 140, A1133–A1138 (1965)。

ADS MathSciNet Google Scholar

Brack, M., Guet, C. & Hakansson, H.-B. 平均核特性の自己無撞着な半古典的記述 ― 微視的モデルと巨視的モデルをつなぐもの Phys. Rep. 123, 275–364 (1985).

広告 Google Scholar

Centelles, M., Schuck, P. & Viñas, X. 原子核のトーマス・フェルミ理論の再考. Ann. Phys. 322, 363 (2007).

広告 Google Scholar

Colò, G. & Hagino, K. 軌道自由密度汎関数理論：電子系と原子核系の相違点と類似点. Prog. Theor. Exp. Phys. 2023, 103D01 (2023).

Google Scholar

Centelles, M., Pi, M., Vinas, X., Garcias, F. & Barranco, M. 核における自己無撞着な拡張トーマス・フェルミ計算. Nucl. Phys. A 510, 397–416 (1990).

広告 Google Scholar

Dutta, A., Arcoragi, J.-P., Pearson, J., Behrman, R. & Tondeur, F. Thomas-Fermiによる原子核質量公式へのアプローチ: (i). 球状核. Nucl. Phys. A 458, 77–94 (1986).

広告 Google Scholar

Aboussir, Y., Pearson, J., Dutta, A. & Tondeur, F. ハートリー・フォック法の近似による核質量式. At. Data Nucl. Data Tables 61, 127 – 176 (1995).

Google Scholar

Brack, M. 他「ファニーヒルズ：原子核殻効果への殻補正アプローチと核分裂過程への応用」Rev. Mod. Phys. 44, 320–405 (1972).

広告 Google Scholar

Brack, M. & Pauli, H. Strutinskyの平均化法について Nucl. Phys. A 207, 401–424 (1973)。

広告 Google Scholar

Strutinsky, V. 原子核の質量と変形エネルギーにおける殻効果 Nucl. Phys. A 95, 420–442 (1967).

広告 Google Scholar

Strutinsky, V.「変形核における「殻」」Nucl. Phys. A 122, 1–33 (1968)。

広告 Google Scholar

Brack, M. & Quentin, P. 自己無撞着平均密度行列とStrutinskyエネルギー定理. Phys. Lett. B 56, 421–423 (1975).

広告 Google Scholar

Bohigas、O.、Campi、X.、Krivine、H.、Treiner、J. 有限原子核に対する Thomas-Fermi 近似の拡張。物理学。レット。 B 64、381–385 (1976)。

広告 Google Scholar

Chu, Y., Jennings, B. & Brack, M. 拡張トーマス・フェルミ近似による核結合エネルギーと液滴パラメータ. Phys. Lett. B 68, 407–411 (1977).

広告 Google Scholar

Tozer, DJ, Ingamells, VE & Handy, NC「交換相関ポテンシャル」J. Chem. Phys. 105, 9200–9213 (1996)。

広告 Google Scholar

Carleo, G. 他「機械学習と物理科学」Rev. Mod. Phys. 91, 045002 (2019)。

広告 Google Scholar

Boehnlein, A. 他「コロキウム：原子核物理学における機械学習」Rev. Mod. Phys. 94, 031003 (2022)。

広告 Google Scholar

He, W. et al. 低エネルギーおよび中エネルギー核物理学における機械学習．Sci. China Phys. Mech. Astron. 66, 282001 (2023).

広告 Google Scholar

Niu, ZM et al. 原子核質量予測におけるラジアル基底関数アプローチ. Phys. Rev. C. 88, 024325 (2013).

広告 Google Scholar

Utama, R., Piekarewicz, J. & Prosper, HB「中性子星の地殻組成の核質量予測：ベイズニューラルネットワークアプローチ」Phys. Rev. C. 93, 014311 (2016)

広告 Google Scholar

Niu, ZM & Liang, HZ ペアリング効果と殻効果を考慮したベイズニューラルネットワークアプローチに基づく核質量予測 Phys. Lett. B 778, 48 – 53 (2018)

Google Scholar

Neufcourt, L., Cao, YC, Nazarewicz, W. & Viens, F. ベイズ的アプローチによる核観測量のモデルベース外挿. Phys. Rev. C. 98, 034318 (2018).

広告 Google Scholar

Pastore, A., Neill, D., Powell, H., Medler, K. & Barton, C. 統計的不確実性が中性子星の外殻の組成に与える影響。Phys. Rev. C. 101, 035804 (2020)。

広告 Google Scholar

Wu, XH & Zhao, PW カーネルリッジ回帰による核質量予測．Phys. Rev. C. 101, 051301 (R) (2020).

広告 Google Scholar

Wu, XH, Guo, LH & Zhao, PW 奇偶効果を考慮した拡張カーネルリッジ回帰における核質量 Phys. Lett. B 819, 136387 (2021).

Google Scholar

Wu, XH, Lu, YY & Zhao, PW カーネルリッジ回帰を用いた原子核質量と分離エネルギーのマルチタスク学習. Phys. Lett. B 834, 137394 (2022).

Google Scholar

Niu, ZM & Liang, HZ 機械学習による核質量予測はr過程研究に必要な精度に到達 Phys. Rev. C. 106, L021303 (2022)

広告 Google Scholar

Akkoyun, S., Bayram, T., Kara, SO & Sinan, A. 核電荷半径への人工ニューラルネットワークの応用. J. Phys. G Nucl. Part. Phys. 40, 055106 (2013).

広告 Google Scholar

Utama, R., Chen, W.-C. & Piekarewicz, J. 核電荷半径：密度汎関数理論とベイズニューラルネットワークの融合. J. Phys. G Nucl. Part. Phys. 43, 114002 (2016).

Ma, Y. et al. ナイーブベイズ確率分類器に基づく核電荷半径の予測と物理的解釈. Phys. Rev. C. 101, 014304 (2020).

広告 Google Scholar

Wu, D., Bai, CL, Sagawa, H. & Zhang, HQ 学習済みフィードフォワードニューラルネットワークによる核電荷半径の計算. Phys. Rev. C. 102, 054323 (2020).

広告 Google Scholar

Ma, J.-Q. & Zhang, Z.-H. カーネルリッジ回帰による改良された現象論的核電荷半径公式. Chin. Phys. C. 46, 074105 (2022).

広告 Google Scholar

Dong, X.-X., An, R., Lu, J.-X. & Geng, L.-S. ベイズニューラルネットワークにおける核電荷半径の再考. Phys. Lett. B 838, 137726 (2023).

Google Scholar

Niu, ZM, Liang, HZ, Sun, BH, Long, WH & Niu, YF 機械学習による原子核β崩壊半減期の予測とr過程元素合成への影響 Phys. Rev. C. 99, 064307 (2019)

広告 Google Scholar

Lovell, AE, Nunes, FM, Catacora-Rios, M. & King, GB 反応理論における不確実性の定量化における最近の進歩. J. Phys. G Nucl. Part. Phys. 48, 014001 (2020).

広告 Google Scholar

Wu、D.、Bai、CL、佐川、H.、西村、S. & Zhang、HQ ニューラル ネットワーク モデル内の β 遅延 1 中性子放出確率。物理学。神父牧師C. 104、054303 (2021)。

広告 Google Scholar

Saxena, G., Sharma, PK & Saxena, P. アルファ崩壊系統学のための修正経験式と機械学習．J. Phys. G Nucl. Part. Phys. 48, 055103 (2021).

広告 Google Scholar

Neudecker, D. 他「微分・積分実験を用いた機械学習手法による原子核物理学への情報提供」Phys. Rev. C. 104, 034611 (2021)。

広告 Google Scholar

Wang, X., Zhu, L. & Su, J. 核反応データの複雑ネットワークのモデリングによる発見プロセスの探究 Chin. Phys. C. 45, 124103 (2021).

広告 Google Scholar

Huang, TX, Wu, XH & Zhao, PW カーネルリッジ回帰法を用いた中性子捕獲反応断面積の予測への応用 Commun. Theor. Phys. 74, 095302 (2022).

広告 Google Scholar

Jiang, WG, Hagen, G. & Papenbrock, T. 人工ニューラルネットワークによる核構造観測量の外挿．Phys. Rev. C. 100, 054326 (2019).

広告 Google Scholar

Lasseri, R.-D., Regnier, D., Ebran, J.-P. & Penon, A. 多層ニューラルネットワーク委員会による核複雑性の制御. Phys. Rev. Lett. 124, 162502 (2020).

広告 Google Scholar

吉田 誠. 配置相互作用法における外挿問題へのノンパラメトリックベイズアプローチ. Phys. Rev. C. 102, 024305 (2020).

広告 Google Scholar

Wang, X., Zhu, L. & Su, J. 入力層からのベイズニューラルネットワークにおける物理学的ガイダンスの提供：巨大双極子共鳴予測のケース. Phys. Rev. C. 104, 034317 (2021).

広告 Google Scholar

Bai, J., Niu, Z., Sun, B. & Niu, Y. マルチタスクニューラルネットワークによる巨大双極子共鳴の主要パラメータの記述．Phys. Lett. B 815, 136147 (2021).

Google Scholar

Neufcourt, L., Cao, Y., Nazarewicz, W., Olsen, E. & Viens, F. ベイズモデル平均化によるCA領域における中性子ドリップライン. Phys. Rev. Lett. 122, 062502 (2019).

広告 Google Scholar

Neufcourt, L. 他「核ランドスケープの定量化された限界」Phys. Rev. C. 101, 044307 (2020)。

広告 Google Scholar

Wang, Z.-A., Pei, J., Liu, Y. & Qiang, Y. 不完全核分裂収量のベイズ評価．Phys. Rev. Lett. 123, 122501 (2019).

広告 Google Scholar

Lovell, AE, Mohan, AT & Talou, P. 混合密度ネットワークを用いた核分裂片質量収率の不確実性の定量化. J. Phys. G-Nucl. Part. Phys. 47, 114001 (2020).

広告 Google Scholar

Qiao, CY et al. 239Uの核分裂断片の電荷収量のベイズ評価. Phys. Rev. C. 103, 034621 (2021).

広告 Google Scholar

Keeble, J. & Rios, A. 重陽子の機械学習．Phys. Lett. B 809, 135743 (2020).

Google Scholar

Adams, C., Carleo, G., Lovato, A. & Rocco, N. 人工ニューラルネットワーク相関器仮説を用いた≤4核の変分モンテカルロ計算. Phys. Rev. Lett. 127, 022502 (2021).

広告 Google Scholar

Lovato, A., Adams, C., Carleo, G. & Rocco, N. 核多体問題のための隠れ核子ニューラルネットワーク量子状態．Phys. Rev. Res. 4, 043178 (2022).

Google Scholar

Yang, Y. & Zhao, P. 原子核における相対論的効果と三体相互作用の一貫した記述．Phys. Lett. B 835, 137587 (2022).

Google Scholar

Yang, YL & Zhao, PW ディープニューラルネットワークによる第一原理核構造問題の解決 Phys. Rev. C. 107, 034320 (2023)

広告 Google Scholar

Rigo, M., Hall, B., Hjorth-Jensen, M., Lovato, A. & Pederiva, F. ニューラルネットワークの量子状態を用いた核対形成モデルの解法．Phys. Rev. E 107, 025310 (2023).

ADS MathSciNet Google Scholar

Pederson, R., Kalita, B. & Burke, K. 機械学習と密度汎関数理論. Nat. Rev. Phys. 4, 357–358 (2022).

Google Scholar

Huang, B., von Rudorff, GF & von Lilienfeld, OA「AI時代における密度汎関数理論の中心的役割」Science 381, 170–175 (2023)

広告 Google Scholar

Snyder, JC, Rupp, M., Hansen, K., Müller, K.-R. & Burke, K. 機械学習による密度汎関数の探索．Phys. Rev. Lett. 108, 253002 (2012).

広告 Google Scholar

Brockherde, F. 他「機械学習によるKohn-Sham方程式のバイパス」Nat. Commun. 8, 872 (2017)

広告 Google Scholar

永井 亮、明石 亮、杉野 修. 分子からの隠れたメッセージを機械学習で学習し、密度汎関数理論を完成する. npj Computational Mater. 6, 43 (2020).

広告 Google Scholar

Bogojeski, M., Vogt-Maranto, L., Tuckerman, ME, Müller, K.-R. & Burke, K. 機械学習による密度汎関数近似からの量子化学精度．Nat. Commun. 11, 5223 (2020).

広告 Google Scholar

Moreno, JR, Carleo, G. & Georges, A. 密度汎関数理論のホーエンベルク・コーン写像の深層学習．Phys. Rev. Lett. 125, 076402 (2020).

ADS MathSciNet Google Scholar

Li, L. et al. 正則化子としてのKohn-Sham方程式：機械学習による物理学への事前知識の構築. Phys. Rev. Lett. 126, 036401 (2021).

広告 Google Scholar

カークパトリック、J. 他「分数電子問題の解決による密度汎関数の最先端への挑戦」Science 374, 1385–1389 (2021).

広告 Google Scholar

Margraf, JT & Reuter, K. 電子相関のための純粋非局所機械学習密度汎関数理論. Nat. Commun. 12, 1–7 (2021).

広告 Google Scholar

Ma, H., Narayanaswamy, A., Riley, P. & Li, L. 進化する記号密度汎関数．Sci. Adv. 8, eabq0279 (2022).

広告 Google Scholar

Bai, Y., Vogt-Maranto, L., Tuckerman, ME & Glover, WJ 分子励起状態のHohenberg-Kohn写像の機械学習 Nat. Commun. 13, 7044 (2022)

広告 Google Scholar

Wu, XH, Ren, ZX & Zhao, PW 機械学習による核エネルギー密度汎関数．Phys. Rev. C. 105, L031303 (2022).

広告 Google Scholar

日澤 暢、萩野 健、吉田 憲. 深層学習によるSkyrmeエネルギー密度汎関数の解析. Phys. Rev. C. 108, 034311 (2023).

広告 Google Scholar

Chen, YY & Wu, XH Thomas-Fermi法に基づく機械学習による核軌道フリー密度汎関数. Int. J. Mod. Phys. E 33, 2450012 (2024).

広告 Google Scholar

Vautherin, D. Skyrme相互作用を考慮したHartree-Fock計算. ii. 軸方向に変形した核. Phys. Rev. C. 7, 296–316 (1973).

広告 Google Scholar

Lee, S.-J. 他「軸方向変形核の相対論的ハートリー計算」Phys. Rev. Lett. 57, 2916–2919 (1986)。

広告 Google Scholar

Pannert, W., Ring, P. & Boguta, J. 相対論的平均場理論と核変形. Phys. Rev. Lett. 59, 2420–2422 (1987).

広告 Google Scholar

Dobaczewski, J., Flocard, H. & Treiner, J. 中性子ドリップライン近傍の核のHartree-Fock-Bogolyubov記述 Nucl. Phys. A 422, 103–139 (1984)。

広告 Google Scholar

Bender, M., Rutz, K., Reinhard, P.-G. & Maruhn, JA「核平均場モデルにおける質量中心補正の結果」Eur. Phys. J. A 7, 467–478 (2000).

広告 Google Scholar

Beiner, M., Flocard, H., Van Giai, N. & Quentin, P. 核基底状態特性とSkyrme相互作用による自己無撞着計算: (i). 球状記述. Nucl. Phys. A 238, 29–69 (1975).

広告 Google Scholar

スレーター、JC「ハートリー・フォック法の簡略化」物理学改訂第81巻、385～390頁（1951年）。

広告 Google Scholar

Staszczak, A., Stoitsov, M., Baran, A. & Nazarewicz, W. 制約付き核密度汎関数理論のための拡張ラグランジアン法. Eur. Phys. J. A 46, 85–90 (2010).

広告 Google Scholar

国立核データセンター（NNDC）、https://www.nndc.bnl.gov/（2025）。

参考資料をダウンロード

本研究は、中国国家重点研究開発計画（契約番号：2018YFA0404400）、中国国家自然科学基金（助成番号：11935003、11975031、12141501、12070131001、12405134）、福州大学スタートアップ助成金番号：XRC-23103、北京大学核物理技術国家重点実験室（助成番号：NPT2023KFY02）、および中国ポストドクター科学基金（助成番号：2021M700256）の支援を受けて実施されました。ZXRは、欧州連合（EU）のホライズン2020研究イノベーションプログラム（助成契約番号：101018170）の下、欧州研究会議（ERC）の支援も受けています。

中国福建省福州市福州市福州大学物理学部

XH ウー

北京大学物理学院核物理技術国家重点実験室（中国北京）

XH ウー、ZX レン、PW チャオ

高度シミュレーション研究所、ユーリッヒ研究センター、ユーリッヒ、ドイツ

ZX レン

ボン大学ヘルムホルツ放射線・原子核物理学研究所およびベーテ理論物理学センター、ドイツ

ZX レン

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概念化、XHW および PWZ、方法論、XHW および ZXR、形式分析、XHW、調査、XHW、ZXR および PWZ、執筆 - 原稿準備、X.-HW、執筆 - レビューおよび編集、全著者、視覚化、XHW、監督、PWZ、資金調達、XHW および PWZ

PW Zhao への通信。

著者らは利益相反がないことを宣言します。

Communications Physicsは、Nicolas Schunck氏をはじめとする匿名の査読者の方々に、本論文の査読へのご協力に感謝申し上げます。査読ファイルは入手可能です。

発行者注記：Springer Nature は、公開された地図および所属機関に関する管轄権の主張に関しては中立の立場を維持しています。

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転載および許可

Wu, XH, Ren, ZX & Zhao, PW 機械学習による軌道自由密度汎関数理論により、変形核における殻効果を解明. Commun Phys 8, 316 (2025). https://doi.org/10.1038/s42005-025-02234-7

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受領日: 2025年1月21日

受理日: 2025年7月16日

発行日: 2025年8月1日

出典: https://doi.org/10.1038/s42005-025-02234-7

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